Solving linear equations 4x4 matrix -handout

However if we are only looking for the solution,
we may try the easier way once we arrive at a  single 1 in any row in coefficient matrix C
In the above example at step 9 the second row has a 1 at the 2nd column.
This cell corresponds to  "b".

We may instead try the operation below:
remember the matrix equation of  9 in full form is:

Solving linear equations with matrix (3x3) - handout

高鐵定價與GDP的關係

下面是網上對中國高鐵票價修定的討論。　

    原先，作者不贊成搞”大躍進“，尤其是中西部，應該比東部分別晚5年和15年再建高鐵，理由是中西部的經濟發展水平比東部晚5-15年，且建設難度更大，這樣更符合需求和投入產出比；

　　其次，也不建議直接到350時速，並且一等座少些，二等座多些，這樣更符合中國人的承受能力。

　　但後面有兩件事是作者萬萬沒有預料到的：

　　第一個，是沒想到國人的消費需求提高和增長那麼快。

　　09年時，大多數人還都抱怨高鐵太貴，抱怨“被高鐵”。那時多數人中途出游首選還是動車和臥鋪。大多數人都稱動車和是性價比最合理，是”最和諧“的火車。

　　但僅過了3年，到2012年，高鐵就由”運凳子“變成經常出現一票難求。在既有高鐵又有動車的路段，多數人都寧可多花50%的費用坐高鐵。
不過那時只是二等票難買，一等票還很少脫銷。

　　僅僅又過了兩年，到2014年，一等票也開始難買，在很多地段，在東部的主要線路，甚至往往比二等票更難買，盡管前者比後者貴60%多!

　　第二個沒想到的，是高鐵的優勢距離遠遠超過了他也包括劉志軍的預計。

    之前他們認為高鐵相對於民航的主要優勢是安全、準時、舒適、距市中心近，能欣賞風景以及價格略便宜。因此估計，高鐵的絕對優勢是在700公里內（如北京到鄭州、洛陽、太原、泰山等），1000公里為均衡點（如北京到南京、合肥、華山等）；1000公里以外則是民航逐漸占優。

　　但後來卻發現，甚至北京到 1300 公里的武漢、蘇州、杭州甚至上海，多數人也首選高鐵。他估計，如果高鐵恢復到350，即便價格恢復到350，高鐵絕對優勢距離將增加到1000公里，相對優勢距離將增加到1300公里，而對於沒有機場的二三線城市，即便一千百六七公里，一樣會成為首選（如北京到郴州，去最近的機場都有近兩個小時），道理很簡單。

　　對於第二個沒想到，我的分析是， 移動互聯網的發展，使絕大多數居民和幾乎所有高鐵乘客都成為刷屏族，這使得多數人對高鐵的消費偏好大大提高；另外，高鐵上電腦辦公環境較好，這對於商務客人也有很大吸引力——須知，在現代社會，在知識經濟時代，對於大多數人來說，時間是最寶貴的資源！盡管在800公里（3.5小時）以上，高鐵時間開始超過民航，但由於可以車上辦公、打電話、上網，使得坐高鐵繼續有”時間優勢“。

　　對於他的第一個“沒想到”，則更是可以用簡單的公式計算和分析其原因。

　　按照高鐵的平均運送裡程（也就是均衡裡程）1000公里計算，普快軟座票價約200元；而動車約280元，高鐵二等票約420元，一等票約700元，也就是分別比普快軟座貴80、220和500元。而麼長距離，坐普快需要一天多時間，同時坐普快更累，到達後休息恢復時間也得有幾個小時，高鐵則舒服得多，因此坐高鐵基本可以節省一天的有效時間。

　　因此，我們只需要計算，一天時間值多少錢。

　　6年前的2009年，中國人均GDP為2.61萬人民幣（3678美元），按照270個工作日計算，每天約96元，剛好超過動車和軟座的價差，怪不得那時大家都說動車價格最和諧、最親民！那時有普快和動車並行的線路，老百姓基本都首選動車。由於鐵路乘客主體是城市商務、旅游人口，人均約為全國平均的2倍，但也沒到高鐵二等座200元的價差，所以高鐵對多數人確實不是首選，這也使得鐵路部門為了確保高鐵上座率而停了很多動車，讓工薪族抱怨紛紛！

　　但僅僅三年後的2012年，中國的人均GDP就提高到了3.84萬（約6100美元），人均工作日GDP超過140元，商務旅游乘客達到280元以上，超過高鐵二等票與普快的價差（220）。於是我們看到，那種300公裡以上的距離，即便有動車，多數人仍選擇高鐵。

　　又過了3年，到了2015年，中國人均GDP達到5.18萬，人均工作日GDP為190，商務旅游乘客GDP接近400元，雖然仍低於普快軟座和一等座的價差，但由於一等座數量較少，因此消費偏好首選一等座的大大增加，使得一等座反而更難買！尤其是在人均GDP已經普遍達到10萬左右的東部一二線城市，一等座的價差更是已經低於普通人的日均GDP。因此我們看到，在東部線路（京滬、滬杭等）一等票難買已經是常態。

　　於是我們看到了一些更有趣的現像：當年東部地區的網民，都紛紛抱怨“被高鐵”，但現在中西部地區的網民都在盼望本地通高鐵，或者說是抱怨“沒高鐵”。而幾年前還嘲笑高鐵“運凳子”的一些公知，卻開始抱怨買不到票（如茅於軾），曾經批評高鐵是貴族工具，富人消費的趙樂米（當年《新世紀周刊》報道高鐵的文章主要都是她寫的），在解釋自己為何選擇坐高鐵回郴州老家時，卻說因為“自己是窮人，沒錢”。

　　對於以上的計算，需要說明幾個問題：

　　1，中國人一年的法定工作日，只有250天左右，之所以以270計算，因為大多數人都有加班的日子，而很多體力勞動、商人以及自由職業者，經常在周末工作。

　　2，僅僅6年，廣大乘客的首選就從每公里2.8元的動車變成4元多的高二等座，然後到7元的高鐵一等座，這有力地證明，中國經濟的發展和收入的提高速度是真的，甚至是低估的。

　　3，但需要承認，中國實際經濟增長就算被低估，也不至於有2.8-7那麼多快（這6年增加60%肯定有，但不至於有一倍以上），但由於高鐵價格一直維持不變，相對於同行，其實高鐵反而等於降價，這使得高鐵從收入和價格兩方面推動了需求。

　　4，對於一等座熱銷，另外一個原因是二等座的乘客的平均相對素質在急速下降，大量的農民，家政人員，藍領工人等開始坐高鐵（當然主要是二等座），這使得很多人出於乘坐環境而選擇一等座。
這個問題必須考慮，否則會導致很多乘客再次回到飛機上（就有人和我解釋，為何買不到一等座就只選飛機，絕不坐二等座，因為受不了二等座的氣味和喧嘩）　
因此建議：
1. 增加一等座；
2. 增加線路和班次；
3. 提速，恢復350時速，價格也回到之前的每公里0.47元與0.79元。這樣既提高了速度，也增加了價格門檻，保證了車廂內的環境和乘客“素質”。

　　只不過，這個提價也就增加12%，最多也就相當於人均收入和GDP兩年的增幅。

　　所以，中國高鐵提速、提價、提服務，加班次，加線路不僅永無止境，而是時不我待！

這個分析是很好的 marginal cost 邊際成本例子。
作者用每日個人GDP去研究高鐵票價/需求和個人收入的關係。
中產乘客追求省時，方便及舒適。
一般乘客追求價平。

文中以高鐵比一般鐵路省時一天的邊際成本去推算。當高鐵和普通鐵路票價的分別接近某群組的一天GDP時這個組別的乘客就會轉用高鐵。

以動車票價為基點，日GDP與各等票價差額的關係：

以普通車票價為基點，日GDP與各等票價差額的關係：

這裡可以看到一般人的平均日GDP已接近高鐵二等票和普通車票的差額。

Probability 入門 1 - permutation 排列

介紹 combination 的 formula
 Video 連結在 https://www.youtube.com/watch?v=rmseC7_QGOw

組合 combination 在機率(probability)運算上極多時候應用到。
要明白combination 就先要懂 permutation 排列。

Definition
首先要分清名稱：
permutation排列是有分次序，
combination組合則不用分次序。

例如有 3 球 a b c，如是說排列permutation就有 abc, acb, bac, bca, cab, cba 等 6 組 排列 方法。
但在組合combination，則不用理會次序，所以上前 3 球的 組合就只有一組 組合的方法。

e.g.
permutation
有 7 個球： a, b, c, d, e, f, g。將7個球放入一排格子裡：

第 1 格可以在 7 個球內任取一個放入。第 1 格有 7 種放球方法。
第 2格可以在剩下個的 6 個球內任取一個放入。第 2 格有 6 種放球方法。
第1,2 格的排列有7x6種方法。

第 3格可以在剩下個的 5 個球內任取一個放入。第 3 格有 5 種放球方法。
第1,2,3格的排列有7x6x5種方法。

第 4格可以在剩下個的 4 個球內任取一個放入。第 4 格有 4 種放球方法。

第 5格可以在剩下個的 3 個球內任取一個放入。第 5 格有 3 種放球方法。

第 6格可以在剩下個的 2 個球內任取一個放入。第 6 格有 2 種放球方法。

第 7格只剩下 1 個球可以放入。第 7 格有 1 種放球方法。

即是 7 個球的排列方法有 7x6x5x4x3x2x1 種。

這個  nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x. . . .x3x2x1 叫 n! 即 n factorial。7 個球的排列方法有 7!種。

那麼如果是從 7 個球中任取 3 個球放入 3 個格內又有多少種排列方法呢？

第 1 格可以在 7 個球內任取一個放入。第 1 格有 7 種放球方法。
第 2格可以在剩下個的 [7-(2-1)]=6 個球內任取一個放入。第 2 格有 6 種放球方法。
第 3格可以在剩下個的  [7-(3-1)]=5 個球內任取一個放入。第 3 格有 5 種放球方法。
從 7 個球中任取 3 個球放入 3 個格內的排列方法有

7x6x5種

換個方法寫：

PERMUTATION排列

從 n 個球中取 r 個 的排列 (permutation)方法:

COMBINATION 組合

在 r 個球中排列方法有 r! 種方法。如不用理會次序的話
從 n  個物件中取 r 個 而不理會排列次序的組合有

這個不用理會次序的就是 combination (組合)
 又可寫成